Laborversuch 2: Zählstatistik und Unsicherheitsvorhersage
Zweck:
- Die statistischen Natur der Strahlung zu verstehen.
- Die Berechnung statistischer Größen durchzuführen.
- Durchführung einer Unsicherheitsanalyse für einen Satz von erfassten Daten.
Erforderliches Equipment:
Übersicht über die Theorie:
Der radioaktive Zerfall ist ein Zufallsprozess. In einem Experiment schwankt die Anzahl der erfassten Zählungen aufgrund des statistischen Herkunft der Daten. Man kann Verteilungsfunktionen vorhersagen, mit denen die Ergebnisse vieler solcher wiederholter Messungen beschrieben werden können.
Es gibt drei gängige statistische Modelle, die bei der Strahlungszählung verwendet werden:
- Binomialverteilung
- Poisson-Verteilung
- Gaußsche Verteilung
Statistische Analyse
Die Grundlage jeder statistischen Verteilung ist die Variation einer gegebenen Messung vom wahren Wert. Der wahre Wert wird oft experimentell auf der Basis einer Reihe von Messungen angenommen und die Messungen dienen zur Bestimmung eines experimentellen Mittelwerts und einer Standardabweichung. Der experimentelle Mittelwert für eine Reihe von N-unabhängigen Messungen kann wie folgt ausgedrückt werden:
Wobei gilt:
N ist die Gesamtzahl der Messungen und Xi ist der Wert einer gegebenen Messung.
Die Varianz wird dagegen wie folgt ausgedrückt:
Die Quadratwurzel der Varianz ist die Standardabweichung der Probe, die oft zur Quantifizierung der Unsicherheit eines zu messenden Werts verwendet wird.
Unsicherheitsfortschreitung
Nehmen wir an, dass drei unabhängige Variablen x, y, z direkt mit den Unsicherheiten σx , σy , σz gemessen werden.
Die Unsicherheit in der gemessenen Anzahl von Ereignissen, u zwischen x und y kann wie folgt ausgedrückt werden:
Die fortgepflanzte Messunsicherheit wird:
Dasselbe gilt für die Summe der Ereignisse. Die Summe der Ereignisse x und z kann wie folgt ausgedrückt werden:
Die fortgepflanzte Messunsicherheit für die Summe aus x und z beträgt:
Poisson-Verteilung
Die Poisson-Verteilung ist „durch eine konstante und geringe Eintrittswahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Versuch gekennzeichnet“ (siehe Referenz 3 auf Seite 77). Nehmen Sie die Wahrscheinlichkeit eines Kernzerfalls in einem definierten Zeitintervall an.
Nimmt die Wahrscheinlichkeit zu oder ab, wenn die Halbwertszeit der Radionuklide gering ist?
Die erwartete Standardabweichung für eine Messung, die von Poisson-Schwankungen abhängig ist, beträgt:
(Da der Mittelwert ungefähr gleich ist wie jeder typische Wert). Wenn die Daten zum Poisson-Modell passen, sollte Ihre experimentell gemessene Varianz in etwa der berechneten Varianz entsprechen.
Chi-Quadrat-Test
Experimentierende sollten immer die Frage stellen: Sind die ermittelten Daten wahr oder werden sie von Fremdstörungen beeinflusst? Einer der am häufigsten verwendeten Tests zur Überprüfung der Datenqualität ist der χ 2 (Chi-Quadrat)-Test:
Wobei gilt:
Xi und Xe stellen die N-Einzelmessungen und den Durchschnitt der N-Messungen dar.
Zur Bewertung des Chi-Quadrat-Tests ist das erwartete Ergebnis für die Daten, die zu einer Poisson-Verteilung passen, äquivalent zu N – 1. Je größer die Abweichung von N – 1, desto größer ist die Variation der Daten vom erwarteten Verhalten. Wenn die Abweichung groß ist, sollten Experimentierende möglicherweise das Experiment genauer untersuchen, ob das erwartete Ergebnis oder die experimentellen Daten verantwortlich sind.
Anleitung für Experiment 2:
1. Verbinden Sie Osprey- und NaI-Detektor und konfigurieren Sie diese, wie in Experiment 1 empfohlen. Stellen Sie die Verstärkung so ein, dass der 137Cs-Fotopeak in der Mitte des Spektrums liegt.
2. Zeichnen Sie eine Reihe von 20 Hintergrundmesswerten eines NaI-Detektors auf. Stellen Sie die voreingestellte Livezeit der PHA-Erfassung in ProSpect für jede Messung auf 30 Sekunden ein.
3. Platzieren Sie nach der Erfassung dieser Daten eine 137Cs-Quelle in der Nähe des Detektors. Wiederholden Sie die Messungen mit der Quelle.
Warnung: Ändern Sie die Geometrie des Detektors und der Quelle nicht mehr, wenn Sie einmal mit den Messungen begonnen haben.
4. Berechnen Sie für jeden Datensatz in den Schritten 2 und 3 den experimentellen Mittelwert (Xe) und die Probenvarianz (σ2) mit den Gleichungen 2-1 und 2-2 unter Verwendung der Gesamtzählungen im Spektrum.
5. Berechnen Sie die Unsicherheit einer einzelnen Messung, die in diesem Fall gegeben ist durch: σi = Xi
6. Kommentieren Sie anhand der Ergebnisse in den Schritten 4 und 5, ob die Daten zum Poisson-Datenmodell passen.
7. Wenden Sie den χ 2-Test auf die in den Schritten 2 und 3 ermittelten Datensätze an. Kommentieren Sie die Ergebnisse.
8. Berechnen Sie die Standardabweichung der Nettozählungen (durchschnittliche Quellenzählung minus durchschnittliche Hintergrundzählung) mit Gleichung 2-4.
